Почему математику называют царицей наук?
«Математика — царица наук, а теория чисел — царица математики». Карл Фридрих Гаусс.
Но почему именно математика?
Физика изучает устройство мира, биология — жизнь, химия — вещество. А математика, на первый взгляд, вообще не занимается ничем конкретным. У неё нет лаборатории, телескопа или пробирки. Есть числа, фигуры, функции, доказательства — и довольно строгие правила игры.
Математика в человеческом сознании начинается раньше цифр
Есть любопытная вещь: способность иметь дело с количеством появилась у человека задолго до школьной математики.
Исследования в области когнитивной науки показывают, что представление о количестве имеет неязыковые основы. Похожие способности обнаружены не только у людей, но и у некоторых животных. В обработке числовой информации участвуют, в частности, теменные области мозга; особенно часто исследователи выделяют внутритеменную борозду. ([PubMed][1])
Получается, цифры — не начало математики.
Цифры 0, 1, 2, …, 8, 9 — условные (и не самые первые и неединственные) символы, которые придумали люди, чтобы с их помощью описывать количество. А вот способность заметить, что здесь предметов больше, чем там, гораздо древнее.
Но дальше происходит важная вещь: интуитивного чувства количества человеку становится недостаточно. Ведь для того, чтобы доказать, что одно утверждение следует из другого, приблизительной оценки уже мало.
Появляются числа, знаки, правила, доказательства. И математика постепенно отрывается от конкретных предметов.
Один необычный эксперимент
В 2008 году исследователи изучали представление о числах у представителей народа мундуруку в Амазонии. У участников было значительно меньше числовых слов и существенно меньше опыта формального образования, чем у западных участников исследования.
Им предложили расположить числа на отрезке между двумя крайними значениями.
Результат оказался интересным: способ расположения чисел у мундуруку отличался от привычной нам линейной шкалы. Их интуитивное представление о числовом пространстве было ближе к логарифмическому. Исследователи сделали вывод, что первоначальное представление о числовой величине может иметь универсальную основу, тогда как привычная нам линейная числовая шкала во многом формируется культурой и обучением. ([PubMed][2])
Это не означает, конечно, что математика целиком «зашита» в человеке. Более того, интерпретация этого эксперимента обсуждалась и другими исследователями. ([PubMed][3])
Но сам результат очень хорошо показывает одну вещь: математические символы и математическая интуиция — не одно и то же.
Человек может иметь довольно глубокое чувство количества, ещё не зная ни одной цифры и ни одной формулы.
А потом математика начинает делать то, чего не умеет интуиция. Наше непосредственное ощущение количества приблизительно. Математика позволяет сделать его точным.
Не просто «здесь больше» 37>19, а на сколько больше 37-19=28.
Не просто «это расстояние примерно в два раза больше», а получить точное соотношение.
Не просто заметить, что тело движется по замысловатой траектории, а описать его движение функцией и вывести последствия из этой модели.
И здесь математика становится чем-то большим, чем инструмент вычислений. Она позволяет строить модели.
В физике мы говорим о материальной точке, идеальном газе, абсолютно упругом теле. В природе таких объектов в буквальном смысле не существует. Это сознательные упрощения. Но именно благодаря таким моделям мы можем отделить главное от второстепенного и получить закономерность.
Поэтому и физик и экономист и многие другие исследователи используют математику не только для того, чтобы посчитать ответ. Он с её помощью формулирует саму модель происходящего.
А что происходит с человеком, который занимается математикой профессионально?
Здесь есть особенно интересное исследование. В 2016 году Мари Амальрик и Станислас Деан провели эксперимент с профессиональными математиками. Им предлагали оценивать истинность различных утверждений — математических и нематематических. Математические утверждения относились к алгебре, анализу, геометрии и топологии. Исследование проводилось с использованием функциональной МРТ.
И результат оказался довольно неожиданным: у профессиональных математиков сложные математические утверждения активировали распределённую сеть областей в лобных, теменных и височных отделах мозга. При этом активность не сводилась к классическим языковым областям.
Авторы пришли к выводу, что высокоуровневое математическое мышление связано с системами, которые имеют общие корни с более базовым представлением о числе и пространстве. ([PubMed][4])
Это особенно интересно потому, что сложная математика для нас выглядит почти полностью языковой. Нематематики читают:
как строку символов.
А математик воспринимает её не просто как текст. За этой записью для него стоит определённая структура, отношения, действия, свойства объекта, с которыми можно мысленно работать.
И здесь становится понятнее, почему хороший математик иногда решает незнакомую задачу, не перебирая десятки формул.
Он узнаёт не саму задачу. Он узнаёт структуру.
Поэтому математика так хорошо уживается с физикой. Физика задаёт вопрос: что происходит с реальным миром?
Математика помогает сформулировать: какие отношения между какими величинами из этого следуют?
А дальше начинается самое полезное — можно проверить, соответствует ли модель эксперименту.
Если соответствует — прекрасно.
Если нет — придётся пересматривать либо модель, либо предположения.
Именно поэтому история науки полна случаев, когда математические конструкции, возникшие как довольно абстрактные, спустя годы оказывались полезными для описания физической (и не только) реальности.
Математика иногда действительно выглядит так, будто строит здания заранее, а физика потом приходит и говорит: А вот это помещение нам, оказывается, очень пригодится.
Но бывает и наоборот, когда физическое явление экспериментально обнаружено, а существующими на данный момент времени математическими категориями описать его невозможно. Тогда физика говорит: Надо строить (или пристраивать) новое помещение!
И всё-таки почему «царица»?
Формулировать тезис о том, что математика «главнее» других наук, было бы некорректно. И это было бы слишком просто.
Математика занимает особое место потому, что позволяет работать с отношениями независимо от конкретного объекта. Математический аппарат может описывать движение планеты, колебания струны, распространение электромагнитной волны, химические реакции, поведение экономики и общества или совершенно абстрактное пространство.
Предметы разные. Структура может оказаться одной и той же.
Наверное, в этом и заключается необычная сила математики.
Она начинается с очень простых вещей: больше — меньше, ближе — дальше, одинаково — различно.
А затем доходит до таких конструкций, которые человеческая интуиция уже не способна представить напрямую (например искривление пространства-времени).
И, пожалуй, именно поэтому мне нравится математика.
Она постоянно напоминает одну простую вещь: «то, что мы можем увидеть или почувствовать, — далеко не всё, что можно понять».
Источники:
* Nieder A., Dehaene S. **Representation of Number in the Brain**, *Annual Review of Neuroscience*, 2009. ([PubMed][1])
* Dehaene S., Izard V., Spelke E., Pica P. **Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures**, *Science*, 2008. ([PubMed][2])
* Dehaene S. **Origins of Mathematical Intuitions: The Case of Arithmetic**, *Annals of the New York Academy of Sciences*, 2009. ([PubMed][5])
* Amalric M., Dehaene S. **Origins of the Brain Networks for Advanced Mathematics in Expert Mathematicians**, *PNAS*, 2016. ([PubMed][4])
*Небольшая научная оговорка:* я намеренно не пишу, что «математика находится в одном участке мозга». Современные исследования говорят о распределённых сетях, и это существенно точнее. ([PubMed][4])
[1]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/19400715/?utm_source=chatgpt.com "Representation of number in the brain - PubMed"
[2]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/18511690/?utm_source=chatgpt.com "Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures - PubMed"
[3]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/19119201/?utm_source=chatgpt.com "Comment on \"Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures\" - PubMed"
[4]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/27071124/?utm_source=chatgpt.com "Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians - PubMed"
[5]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/19338511/?utm_source=chatgpt.com "Origins of mathematical intuitions: the case of arithmetic - PubMed"
Но почему именно математика?
Физика изучает устройство мира, биология — жизнь, химия — вещество. А математика, на первый взгляд, вообще не занимается ничем конкретным. У неё нет лаборатории, телескопа или пробирки. Есть числа, фигуры, функции, доказательства — и довольно строгие правила игры.
Математика в человеческом сознании начинается раньше цифр
Есть любопытная вещь: способность иметь дело с количеством появилась у человека задолго до школьной математики.
Исследования в области когнитивной науки показывают, что представление о количестве имеет неязыковые основы. Похожие способности обнаружены не только у людей, но и у некоторых животных. В обработке числовой информации участвуют, в частности, теменные области мозга; особенно часто исследователи выделяют внутритеменную борозду. ([PubMed][1])
Получается, цифры — не начало математики.
Цифры 0, 1, 2, …, 8, 9 — условные (и не самые первые и неединственные) символы, которые придумали люди, чтобы с их помощью описывать количество. А вот способность заметить, что здесь предметов больше, чем там, гораздо древнее.
Но дальше происходит важная вещь: интуитивного чувства количества человеку становится недостаточно. Ведь для того, чтобы доказать, что одно утверждение следует из другого, приблизительной оценки уже мало.
Появляются числа, знаки, правила, доказательства. И математика постепенно отрывается от конкретных предметов.
Один необычный эксперимент
В 2008 году исследователи изучали представление о числах у представителей народа мундуруку в Амазонии. У участников было значительно меньше числовых слов и существенно меньше опыта формального образования, чем у западных участников исследования.
Им предложили расположить числа на отрезке между двумя крайними значениями.
Результат оказался интересным: способ расположения чисел у мундуруку отличался от привычной нам линейной шкалы. Их интуитивное представление о числовом пространстве было ближе к логарифмическому. Исследователи сделали вывод, что первоначальное представление о числовой величине может иметь универсальную основу, тогда как привычная нам линейная числовая шкала во многом формируется культурой и обучением. ([PubMed][2])
Это не означает, конечно, что математика целиком «зашита» в человеке. Более того, интерпретация этого эксперимента обсуждалась и другими исследователями. ([PubMed][3])
Но сам результат очень хорошо показывает одну вещь: математические символы и математическая интуиция — не одно и то же.
Человек может иметь довольно глубокое чувство количества, ещё не зная ни одной цифры и ни одной формулы.
А потом математика начинает делать то, чего не умеет интуиция. Наше непосредственное ощущение количества приблизительно. Математика позволяет сделать его точным.
Не просто «здесь больше» 37>19, а на сколько больше 37-19=28.
Не просто «это расстояние примерно в два раза больше», а получить точное соотношение.
Не просто заметить, что тело движется по замысловатой траектории, а описать его движение функцией и вывести последствия из этой модели.
И здесь математика становится чем-то большим, чем инструмент вычислений. Она позволяет строить модели.
В физике мы говорим о материальной точке, идеальном газе, абсолютно упругом теле. В природе таких объектов в буквальном смысле не существует. Это сознательные упрощения. Но именно благодаря таким моделям мы можем отделить главное от второстепенного и получить закономерность.
Поэтому и физик и экономист и многие другие исследователи используют математику не только для того, чтобы посчитать ответ. Он с её помощью формулирует саму модель происходящего.
А что происходит с человеком, который занимается математикой профессионально?
Здесь есть особенно интересное исследование. В 2016 году Мари Амальрик и Станислас Деан провели эксперимент с профессиональными математиками. Им предлагали оценивать истинность различных утверждений — математических и нематематических. Математические утверждения относились к алгебре, анализу, геометрии и топологии. Исследование проводилось с использованием функциональной МРТ.
И результат оказался довольно неожиданным: у профессиональных математиков сложные математические утверждения активировали распределённую сеть областей в лобных, теменных и височных отделах мозга. При этом активность не сводилась к классическим языковым областям.
Авторы пришли к выводу, что высокоуровневое математическое мышление связано с системами, которые имеют общие корни с более базовым представлением о числе и пространстве. ([PubMed][4])
Это особенно интересно потому, что сложная математика для нас выглядит почти полностью языковой. Нематематики читают:
как строку символов.
А математик воспринимает её не просто как текст. За этой записью для него стоит определённая структура, отношения, действия, свойства объекта, с которыми можно мысленно работать.
И здесь становится понятнее, почему хороший математик иногда решает незнакомую задачу, не перебирая десятки формул.
Он узнаёт не саму задачу. Он узнаёт структуру.
Поэтому математика так хорошо уживается с физикой. Физика задаёт вопрос: что происходит с реальным миром?
Математика помогает сформулировать: какие отношения между какими величинами из этого следуют?
А дальше начинается самое полезное — можно проверить, соответствует ли модель эксперименту.
Если соответствует — прекрасно.
Если нет — придётся пересматривать либо модель, либо предположения.
Именно поэтому история науки полна случаев, когда математические конструкции, возникшие как довольно абстрактные, спустя годы оказывались полезными для описания физической (и не только) реальности.
Математика иногда действительно выглядит так, будто строит здания заранее, а физика потом приходит и говорит: А вот это помещение нам, оказывается, очень пригодится.
Но бывает и наоборот, когда физическое явление экспериментально обнаружено, а существующими на данный момент времени математическими категориями описать его невозможно. Тогда физика говорит: Надо строить (или пристраивать) новое помещение!
И всё-таки почему «царица»?
Формулировать тезис о том, что математика «главнее» других наук, было бы некорректно. И это было бы слишком просто.
Математика занимает особое место потому, что позволяет работать с отношениями независимо от конкретного объекта. Математический аппарат может описывать движение планеты, колебания струны, распространение электромагнитной волны, химические реакции, поведение экономики и общества или совершенно абстрактное пространство.
Предметы разные. Структура может оказаться одной и той же.
Наверное, в этом и заключается необычная сила математики.
Она начинается с очень простых вещей: больше — меньше, ближе — дальше, одинаково — различно.
А затем доходит до таких конструкций, которые человеческая интуиция уже не способна представить напрямую (например искривление пространства-времени).
И, пожалуй, именно поэтому мне нравится математика.
Она постоянно напоминает одну простую вещь: «то, что мы можем увидеть или почувствовать, — далеко не всё, что можно понять».
Источники:
* Nieder A., Dehaene S. **Representation of Number in the Brain**, *Annual Review of Neuroscience*, 2009. ([PubMed][1])
* Dehaene S., Izard V., Spelke E., Pica P. **Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures**, *Science*, 2008. ([PubMed][2])
* Dehaene S. **Origins of Mathematical Intuitions: The Case of Arithmetic**, *Annals of the New York Academy of Sciences*, 2009. ([PubMed][5])
* Amalric M., Dehaene S. **Origins of the Brain Networks for Advanced Mathematics in Expert Mathematicians**, *PNAS*, 2016. ([PubMed][4])
*Небольшая научная оговорка:* я намеренно не пишу, что «математика находится в одном участке мозга». Современные исследования говорят о распределённых сетях, и это существенно точнее. ([PubMed][4])
[1]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/19400715/?utm_source=chatgpt.com "Representation of number in the brain - PubMed"
[2]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/18511690/?utm_source=chatgpt.com "Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures - PubMed"
[3]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/19119201/?utm_source=chatgpt.com "Comment on \"Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures\" - PubMed"
[4]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/27071124/?utm_source=chatgpt.com "Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians - PubMed"
[5]: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/19338511/?utm_source=chatgpt.com "Origins of mathematical intuitions: the case of arithmetic - PubMed"
